这篇blog旨在记录选择公理(Axiom of Choice, AC)以及一些奇妙推论.
Def
1. 设是一集合族, 上的选择函数是 使得 其中是的所有元素之并
Def
2 (Hartogs
Number). 对于任意集合
如果序数 , 是满足不存在 的子集与 等势的最小序数. 则称为 的哈特格斯数.
略去证明.
Thm
2.
以下命题相互等价:
(1). (选择公理)假设中不包含空集,
则上存在选择函数.
(2). (良序定理)任何集合都可以被赋予良序.
(3). (Zorn引理)设是偏序集,
如果的每个链(全序子集)都有上界,
那么有极大元.
Proof.
对任意集合 , 取 非空子集族的选择函数 . 递归地定义映射 如下：
其中
是满足 的序数.
首先证明 是单射. 首先,
根据选择函数的定义有 依照单射的定义可知H是单射.
接下来证明 是满射. 取 的哈特格斯数 . 如果 不是满射, 则 非空,
从而 . 由于 是单射, 与 等势,
这与哈特格斯数的定义矛盾.
因此, 是双射, 可以依照此映射导出
上的一个良序.
根据良序定理, 可以被良序化,
存在一个 到 (是的序型) 的双射 .
用超限归纳法, 归纳定义映射 如下：
则 是 中的一个极大的链. 考虑他的上界, 如果, 由于映射 的归纳定义事实上遍历了整个集合, 则有或者不构成链, 依照序的传递性不可能不构成链.
另一方面, 从而, 从而有极大元.
将选择公理写成： 对于指标集
和集合族 ,
存在一个映射 , 使得对于任意 ,
有 .
记 是所有二元组 构成的偏序集, 其中 , 而
满足 对于所有 成立. 在 上定义偏序 当且仅当 且 .
考虑 中的任意链 . 令
和 定义为： 对于任意 , 任取 使得 ,
满足 . 要验证 定义良好, 只需说明若存在
使得 , 则 . 这由 链的性质保证：不妨设 , 则 且 , 从而 . 显然, . 因此 是 的元素, 并且是 的上界.
由Zorn引理, 有一个极大元 容易验证此极大元必须满足, 从而 就是一个选择函数.
因此, 等价.
Proof. 如果 , 则命题显然成立.
若 是上的线性空间且. 先用分离公理构造一个 所有线性无关子集构成的集合 .
考虑 中的任意一个链 . 可以证明 是 在 中的一个上界.
显然 中的每一个元素都是 的子集. 现在需要证明 是线性无关的. 假设 中存在有限个向量 ,
以及不全为零的, 使得 . 因为 , 那么对于每个 , 存在 使得 . 由于 是一个链, 所以存在 使得 . 这说明
.
因为且 是线性无关的,
必然有 ,从而导出矛盾. 故 . 因此, 是
在 中的上界.
根据 Zorn 引理,
中存在一个极大元 . 可以证明 , 即 可以张成 .
假设存在 . 那么
仍然线性无关. 因为
且 . 这与 是 中的极大元相矛盾. 因此, 假设不成立,
.
综上所述, 是 的一组基.
Thm
4. 每个非零 Hilbert
空间有完备规范正交集.
to be continued…
参考
- Jech, Thomas, Set Theory.
- 《集合论：对无穷概念的探索》, 作者：郝兆宽、杨跃
- 《泛函分析导论及应用》, 作者：[加]欧文•克雷斯齐格
- 《代数学方法：基础架构》, 作者：李文威
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