QFT习题-第一章

最近选修了QFT, 这里留下讲义中习题的答案.

1.1 在自然单位制中， 等于多少 ，也等于多少 ?

我们规定, 故
进而

1.2 略

1.3 设四维动量 满足质壳条件 ，沿 轴方向对它作增速变换，得

证明无论 还是 ，必有

即增速变换不能改变 的符号。

首先
根据质壳条件

而

1.4 设四维动量 和 满足质壳条件 和 ，其中 ，证明

由于洛伦兹度规有线性性和对称性, 以上两个不等式均可以约化为

取一个洛伦兹变换 使得
则

1.5 已知绕 轴旋转变换 、绕 轴旋转变换 、沿 轴增速变换 和沿 轴增速变换 的具体形式为

1. 分别推出这四个变换的无穷小变换参数 的矩阵形式。

2. 证明 和 。

1. 变换生成元 可以通过对变换矩阵求导得到： 如 其余略
   
2. 可以直接使用矩阵乘验证, 也可以写作使用指数乘的性质验证
   

1.6 证明

根据保度规条件

两边乘, 得到

注意到此时

简单整理可得到目标公式

1.7 设 是对称的 Lorentz 张量， 是反对称的 Lorentz 张量，证明

故

1.8 用 和 将 和 表示出来。

电磁场张量为：

对偶张量为： 使用度规降指标后计算得

1.9 根据 Euler-Lagrange 方程 (1.167)，从下列拉氏量导出场 或 的经典运动方程。

1. ，其中 和 是常数。

2. ，其中 是常数。

3. ，其中 和 是常数。

4. 对于上一小题，取 且 ，然后用 表达经典运动方程。

Euler-Lagrange方程为： (a)

故运动方程为: (b)

故运动方程为 (c) 故运动方程: (d) 当时运动方程为 即电磁场的运动方程

1.10 将 式改写为 ，其中

满足 ，引入 Belinfante-Rosenfeld 能动张量

1. 由 和 式推出

2. 证明

3. 证明

4. 证明

可见，Belinfante-Rosenfeld 能动张量是满足守恒流方程的对称张量，且其 00 分量和 0i 分量的空间积分分别是场的总能量和总动量，符合作为对称能动张量的要求，可将它放入广义相对论的 Einstein 方程以充当引力场的源项。