QFT习题-第二章

隔了很久写第二章, 因为在摸鱼.
2.1 设算符 与其厄米共轭 满足反对易关系 其中反对易子定义为 .记算符 的本征值为 , 本征态为 , 即 , 归一化为 .

1. 证明 和 .
   
2. 证明本征值 只能取 0 和 1, 而且

1. 即因此有
   
2. 注意到 考虑的任意本征态, 此时因此. 另外由于 这说明和
   考虑这两个态的内积 因此, 但是此处如果不假定是实数无法完成证明. 因为如果我们考虑以下系统 也完全符合题设条件. 但是我们总可以令将化为实数, 这个问题在考虑振幅模方的QM中并不重要.
   

2.2 已知产生湮灭算符的对易关系 , 以及 和 的平面波展开式 推出 和 等时对易关系:

同理.

2.3 用实标量场的单粒子态构造波包, 设 其中函数 满足 求内积 和总动量算符期待值 .

$$

$$

2.4 将实标量场 的平面波展开式代入对易关系, 推出

分别计算等式的两边: 由于 和 项是线性独立的, 对比两边的系数可知:

2.5 对于自由实标量场 , 根据 1.7 节关于 Noether 定理的讨论, Lorentz 对称性给出的守恒荷算符为 其中 利用等时对易关系推出

考虑 $$

$$

整体来看, 因此

2.6 复标量场 可以按 式分解为两个实标量场 和 的线性组合.设 和 的平面波展开式为 (a) 推导复标量场平面波展开式 中使用的产生湮灭算符 () 与实标量场产生湮灭算符 () 之间的关系.
(b) 根据上述关系及对易关系 验证 () 满足对易关系

(a). 根据积分的线性性可以验证
(b) 验证过程即把对易关系代入上式, 容易验证成立.

2.7 复标量场 的守恒荷算符 可以用产生湮灭算符表达成
(a) 证明
(b) 设 是 的本征态, 本征值为 , 即 .论证 和 的 Q 本征值分别为 和 .

2. 考虑 因此 和 的 Q 本征值分别为 和 .
   

2.8 对于复标量场 , 真空态 满足 和 , 引入动量为 的正标量玻色子态 和反标量玻色子态 .

1. 求内积 、 和 .
   
2. 求 、、 和 .
   
3. 根据守恒荷算符 的表达式 推出 其中

1. 将定义带入通过和对易关系计算即可
   
2. 这位更是重量级, 考虑上一个习题的
   根据积分的线性性质, 即考虑 其中 , 另外四项为 $$

< 0 | (x) | ^+ > = e^{-ipx}, < 0 | (x) | ^- > = 0, < ^+ | (x) | 0 > = 0, < ^- | (x) | 0 > = e^{ipx}

$$

2.9 根据复标量场守恒荷算符 和哈密顿顿算符 证明

单纯爆算题, 说明Q是守恒量, 略

2.10 依照 将复标量场 分解为实标量场 和 的线性组合.

1. 论证复标量场的 U(1) 整体变换等价于实标量场的整体变换 将 看作一个二维线性空间中的矢量, 则上式是此空间中的一个 SO(2) 整体变换, 即转动角为 的二维旋转变换.

2. 证明拉氏量 在上述 SO(2) 整体变换下不变.

可见, 自由复标量场的 U(1) 整体对称性等价于两个自由实标量场的 SO(2) 整体对称性.

1. 比较变换前后, 并写成矩阵即可
2. 自由复标量场的拉氏量可以写为二次型 由于特殊正交群总有容易看出拉氏量在下不变.