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QFT习题-第三章

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可能会跳过一些爆算, 因为太爆算了.

3.1 略

3.2 略

3.3 将 群的任意元素 表达为 (a) 由 和 推出 并证明满足这些方程的解为 令 实参数 和 必须满足 因此, 它们之中只有三个是独立的。 将 、、 和 当作四维空间的直角坐标, 则约束条件(1)表明的群空间是四维球面中的三维球面 。 记三维矢量 的球坐标为 , 则 , 其中单位矢量 是 的方向矢量, 相应的直角坐标为 。 设 则条件(1)得到满足, 从而可以用 作为描述任意 的三个独立实参数。
(b) 证明 和
(c) 证明 从(2)式看出, 对于固定的 , 是 的周期函数, 周期为 。表明, 方向上半径为 的群元等价于 方向上半径为 的群元。 因此, 的群空间也可以看成半径为 的球体, 球体中任意一点的方向由 描述, 与球 心的距离为 。 式意味着球面上所有的点都对应于群元 。

  1. 略, 使用容易验证这些等式.

对比每一项可以拿得知, 接下来考虑 (c) 代入计算可以逐个验证
本题题干包含了一些信息, 但是题目却是代入计算即可.

3.4 Pauli 矩阵是无迹厄米矩阵，而任意 无迹厄米矩阵 只包含三个独立实参数，因此必定可以将 展开为三个 Pauli 矩阵的实线性组合。将组合系数取为三维空间中任意一点 P 的三个直角坐标 ，得 可见，无迹厄米矩阵 与 P 点的位置矢量 是一一对应的。

  1. 证明

  2. 设 矩阵 ，即满足 和 。对 作相似变换 ，利用 和 证明 可见， 也是无迹厄米矩阵，因而可表达为 ，即对应于三维空间另一点 P’ 的位置矢量 。 表明 ，因而 与 可以用 3 阶实正交矩阵 联系起来， 当 时 ，故 。因为任意 可以在连通的 群空间中由恒元连续变化得到，所以 也可以从 O(3) 群空间中由恒元连续变化得到。这意味着 属于 群的连通子群 ，满足 。 任意两个行列式相等的 无迹厄米矩阵 和 可以用 作相似变换联系起来，但这样的 不是唯一的。

  3. 设 满足 ，证明 即 与任意 对易。因此 与单位矩阵只相差一个常数因子 ，即 ，故 。利用 证明 于是，用 和 对 作相似变换将得到相同的 。由 和 的任意性得到 这给出 群元 和 与 群元 之间二对一的对应关系。

  4. 设 和 ，证明以上对应关系对群乘积保持不变，即 因此，这种对应关系是 群与 群之间的 2:1 同态关系。

  1. 由于
    通过简单计算即可验证.

  2. 请读题干, 计算部分代入即可.

  3. 从 出发，在等式左边乘以 ，右边乘以 ： 即和对易,
    由于 与任意 对易，这意味着 与所有的 Pauli 矩阵 都对易。因此对该式两边取行列式： 从而从而

3.5 本题将验证表达的 SU(2) 群元 满足对应关系。将任意位置矢量 分解为平行于 的分量 和垂直于 的分量 ，即 其中单位矢量 和 满足 和 。

  1. 利用 式证明

  2. 对于任意三维矢量 和 ，利用 式证明 以此推出 利用式证明 进而推出

  3. 证明 其中 是把 绕 方向转动 角得到的单位矢量。

  4. 令 证明 即 。

正是对 绕 方向转动 角得到的位置矢量，可以用 群元 表达为 将上式代入 (3) 式，得 ，由 的任意性立即得到 这就是对应关系 (3)。 的群空间是一个半径为 的球体，球体中任意一点的方向由 描述，与球心的距离为 。对应关系(4)表明， 的 群元一一对应于 群元。也就是说，在半径为 的球体中， 与 的群元一一对应。另一方面，根据 ， 方向上半径为 的 群元 等于 方向上半半径为 处的群元 的负值。可见，对应于任意 群元 的一对 群元 分别位于半径为 的球体中和半径从 到 的球壳中。

(a). 注意到 从而和对易, 另外由于, 从而
(b) 先证明 在上式中令 和 ，得到： 根据题设， 和 是正交的单位矢量，所以 。因此：

利用 Levi-Civita 符号的缩并恒等式 。 我们计算叉乘 的第 个分量： 其中 。代入得： 由于这对任意分量都成立，故 。
利用前面已证的结论： (c) 证明.
首先代入 , 其中
(d) 证明
用和共轭作用的线性性容易证明.

3.6 设 是一个与 垂直的单位矢量，而单位矢量 ，则 和 两两之间相互垂直。引入自旋角动量算符 在 和 上的投影 以及它们的线性组合 证明 和对易关系 其中 是螺旋度算符。由此可见， 和 之间的关系与 和 之间的关系形式相同，从而螺旋度 与磁量子数 的取值情况也相同。

使用一般处理角动量算符的方法即可

3.7 引入 和 ，则任意时空坐标 一一对应于 厄米矩阵

  1. 证明

  2. 设 是满足 的任意 可逆复矩阵，对 作变换得到厄米矩阵 ，证明

  3. 将 表达为 ，则 (3.251) 表明 。因此， 对应于一个 Lorentz 变换 ，满足 对于满足 的任意 可逆复矩阵 和 ，证明同态关系 如果 和 只相差一个整体相位因子，即 ，其中 ，则 ，因而 和 对应于同一个 Lorentz 变换。为消除这样的重复性，可以选择适当相位因子，使得 。因此只需要讨论 的任意 可逆复矩阵 ，所有这样的矩阵 构成复分解群，即 2 阶特殊线性群 。

  4. 根据极分解定理，任意 可以分解为 其中 ，而 是一个 无迹厄米矩阵。对于 ，证明 因此 对应的 是空间旋转变换。 根据习题 3.4 的讨论，任意 无迹厄米矩阵 对应于三维 Euclid 空间 中的一个位置矢量，从而所有 的集合对应的空间是 。习题 3.3 的讨论表明，SU(2) 的群空间可以看作三维球面 。综合起来, SL(2,C) 的群空间是 和 的直积 ，这样的群空间是单连通的。因此， 必定与恒元连通，从而 也与恒元连通，即 是固有保时 Lorentz 变换。 SL(2,C) 群元依赖于 个复参数，即 6 个实参数，与固有保时 Lorentz 群 SO 的实参数目相同。然而 SL(2,C) 不是 SO，这是因为 表明 对应于固有 Lorentz 变换。于是，SL(2,C) 与 SO 之间存在 2:1 的同态关系，SL(2.C) 是 SO 的覆盖群。

  5. 设 为实数，令 证明 和 对应时空坐标满足 可见， 对应的 Lorentz 变换 是绕 z 轴转动 角的空间旋转变换，而 和 对应于同一个 Lorentz 变换 。

  1. 见3.4 (a), 由于, 所以那个证明稍微改改就行.
  2. 由于是一个同态, 两边作用易得.
  3. 和3.4 (d)依次作用即可
  5. 比较矩阵元可得

3.8 略
3.9 Poincaré 群的生成元算符 和 定义 Pauli-Lubanski 赝矢量算符 和两个标量算符

  1. 证明

  2. 证明

  3. 对于任意算符 A、B 和 C，推出 Jacobi 恒等式 进而证明

  4. 证明 可见， 与 Poincaré 群的所有生成元算符对易，即它是 Poincaré 群的 Casimir 算符，因而 的本征值在任意 Poincaré 群变换下不变。Poincaré 群的不可约幺正表示可以用 和另一个 Casimir 算符 的本征值来刻画。

  5. 推出

  6. 对于质量为 、自旋为 的单粒子态 ，取 ，由本征方程 推出 和

  7. 已知螺旋度为 的无质量单粒子态 满足本征方程 其中四维动量 满足 。设 ，论证 3.10 取 ，根据 推出 SU(2) 群 4 维表示的生成元矩阵 , 和 。

注意到, 把结果代入公式. 由于 作为群表示需要维持这样的关系, 因此， 同时